Lecture 8: Vector Spaces and Subspaces

Based on Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang (opens in a new tab)

Vector Spaces

$n$ -dimensional ruang $\mathbb{R}^n$ mengandung seluruh kolom vektor dengan $n$ komponen.
Jika $v$ dan $w$ ada di ruang vektor $S$ , seluruh kombinasi linear $cv + dw$ juga harus ada di $S$ .
Vektor dalam $S$ dapat tersusun dari matriks maupun sebuah fungsi. $\mathbb{Z}$ adalah ruang vektor terdiri dari 1 komponen saja yang bernilai nol.
Subspace $\mathbb{R}^n$ adalah ruang vektor didalam $\mathbb{R}^n$ . Contoh: $y = 3x$ ada didalam $\mathbb{R}^2$ .
Column space dari $A$ mengandung semua kombinasi linear dari kolom-kolom $A$ : yaitu subspace dari $\mathbb{R}^m$ .
Column space mengandung seluruh vektor $A\vec{x}$ . Jika $b$ ada di column space $C(A)$ , maka solusi $A\vec{x} = b$ ada.

Seluruh space dari bilangan real dinotasikan dengan $\mathbb{R}$ dengan pangkat $n$ menunjukkan jumlah komponen dari vektor. Sehingga $\mathbb{R}^n$ adalah ruang vektor yang terdiri dari $n$ komponen. Contoh: $\mathbb{R}^2$ adalah ruang vektor 2 dimensi dari bilangan real.

Contoh lain: $\mathbb{C}$ untuk ruang vektor bilangan kompleks.

\mathbb{R}^n = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}

Seluruh vector space haruslah memenuhi 8 syarat berikut:

$x + y = y + x$
$(x + y) + z = x + (y + z)$
Ada vektor nol $0$ sehingga $x + 0 = x$ untuk setiap $x$ .
Untuk setiap $x$ ada vektor $-x$ sehingga $x + (-x) = 0$ .
$1x = x$ untuk setiap $x$ .
$c_1(c_2x) = (c_1c_2)x$ .
$c(x + y) = cx + cy$ .
$(c_1 + c_2)x = c_1x + c_2x$ .

Aturan 1 sampai 4 adalah aturan penjumlahan dan pengurangan, sedangkan aturan 5 sampai 6 adalah aturan perkalian skalar dan 7, 8 adalah hubungan keduanya.

Subspace

Sebuah subspace dari sebuah vector space adalah himpunan dari vektor-vektor (termasuk nol) yang memenuhi 2 syarat:

Jika $v$ dan $w$ ada di subspace, maka $v + w$ juga ada di subspace.
Jika $v$ ada di subspace, maka $cv$ juga ada di subspace.

Dalam artian lain, vektor tersebut "tertutup" terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar.

⚠️

Ingat: $v - w = v + (-w)$ , serta $\frac{v}{c} = \frac{1}{c}v$ .

Setiap subspace pasti mengandung vektor nol, yaitu suatu ruang vektor yang melalui origin $(0, 0, \dots, 0)$ .

Contoh: Kombinasi subspace yang mungkin di $\mathbb{R}^3$ adalah:

$(\mathbb{R}^3)$ Semua vektor di $\mathbb{R}^3$
$(L)$ Garis lurus melalui origin
$(P)$ Bidang melalui origin
$(Z)$ Hanya origin $(0, 0 ,0)$

Column Space of $A$

Column space terdiri dari seluruh KOMBINASI LINEAR dari kolom-kolom $A$ . Kombinasi dari seluruh vektor $Ax$ yang mengisi column space $C(A)$ .

Pemahaman kolom space ini sangat penting untuk keseluruhan pembahasan.

Contoh: $A\vec{x} = b$ breakdown

\underbrace{\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}}_{\vec{x}} = \underbrace{\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}}_{b}\\

$A\vec{x}=b$ terdapat solusi jika $b$ dapat dibentuk dari kombinasi linear kolom-kolom $A$ :

b = x_1 \underbrace{\begin{bmatrix} a \\ d \\ g \end{bmatrix}}_{C_1} + x_2 \underbrace{\begin{bmatrix} b \\ e \\ h \end{bmatrix}}_{C_2} + x_3 \underbrace{\begin{bmatrix} c \\ f \\ i \end{bmatrix}}_{C_3}

untuk $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R}$ .

Sistem persamaan $A\vec{x} = b$ memiliki solusi jika $b$ ada di column space $C(A)$ .

Contoh:

Misalkan ada sebuah matriks $A$ :

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

Maka subspace yang dibentuk dari $A$ adalah sebuah bidang dalam $\mathbb{R}^3$ . Sehingga, sistem persamaan $A\vec{x} = b$ memiliki solusi jika $b$ ada di bidang tersebut.

Note: sebuah bidang adalah span dari 2 basis vektor (pembahasan mendatang).

Subspace $SS = c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_Nv_N$ adalah subspace dari $V$ yang dispan oleh $S$ .

Contoh:

Deskripsikan kolom space dari matrix $I, A, B$ berikut:

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 3 & 5 & 4\end{bmatrix}

Jawab:

Matriks $I$ memiliki column space yaitu seluruh $\mathbb{R}^2$ , karena kedua kolomnya adalah basis dari $\mathbb{R}^2$ .
Matriks $A$ memiliki column space yaitu garis lurus melalui origin, karena kolom kedua merupakan kombinasi linear dari kolom pertama $A_2 = 2A_1$ .
Matriks $B$ dapat ditinjau dari bentuk reduced row echelon form-nya, yaitu:

\text{rref}(B) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -27 \\ 0 & 1 & 17 \end{bmatrix}

terlihat bahwa kolom ketiga adalah kombinasi linear kolom pertama dan kedua yaitu $B_3 = -27B_1 + 17B_2$ . Sehingga column space dari $B$ adalah bidang $\mathbb{R}^2$ yang di span dari 2 basis.

Problem:

Diberikan tiga vektor $b_1, b_2, b_3$ berbeda. Buatlah sebuah matriks sehingga $Ax = b_1, Ax = b_2$ memiliki solusi namun $Ax = b_3$ tidak memiliki solusi.

Jawab:

Key Idea: Buatlah matriks $A$ sedemikian sehingga $b_1, b_2$ ada di column space-nya, dan $b_3$ tidak ada di column space-nya.

Solusi paling sederhana adalah menjadikan matriks yang terdiri dari dua kolom yaitu $b_1$ dan $b_2$ itu sendiri, dimana $b_3$ tentu bukan kombinasi linear dari $b_1$ dan $b_2$ .

Ax = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}

Contoh: Deskripsikan subspace $S$ untuk setiap vektor space $V$ :

$V_4$ adalah solusi dari persamaan $\displaystyle\frac{d^4y}{dx^4} = 0$ .

Jawab:

$V_4$ adalah ruang vektor dari fungsi $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ yang memenuhi $\displaystyle\frac{d^4y}{dx^4} = 0$ . $V_4$ adalah seluruh kombinasi dari $1, x, x^2, x^3$ .

Challenge Problems

Misalkan $S$ $S$ dan $T$ $T$ adalah dua subspace dari vector space $V$ $V$ .
- Penjumlahan $S + T$ mengandung seluruh jumlahan $s + t$ dimana $s \in S$ dan $t \in T$ . Tunjukkan bahwa $S + T$ memenuhi syarat 1 dan 2 dari subspace.
- Jika $S$ dan $T$ adalah garis subspace dari $\mathbb{R}^3$ , apakah perbedaan dari $S + T$ dan $S \cup T$ ? Jelaskan juga pernyataan "span dari $S \cup T$ adalah $S + T$ ".
Tunjukkan bahwa matriks $A$ dan $\begin{bmatrix}A & AB\end{bmatrix}$ memiliki column space yang sama.
Sebuah matriks $n \times n$ memiliki column space yang sama dengan $\mathbb{R}^n$ jika dan hanya jika matriks tersebut _____.

Jawab:

- Jika $u$ dan $v$ berada dalam $S + T$ , maka $u = s_1 + t_1$ dan $v = s_2 + t_2$ dimana $s_1, s_2 \in S$ dan $t_1, t_2 \in T$ . Maka $u + v = (s_1 + s_2) + (t_1 + t_2)$ , dimana $s_1 + s_2 \in S$ dan $t_1 + t_2 \in T$ . Sehingga $u + v \in S + T$ . Begitu pula dengan $cu = c(s_1 + t_1) = cs_1 + ct_1 \in S + T$ .
- Jika $S$ dan $T$ adalah garis yang berbeda, maka $S \cup T$ hanyalah dua garis (bukan subspace) tetapi $S + T$ adalah bidang (subspace). Span dari $S \cup T$ adalah seluruh garis yang melalui kedua garis tersebut, sedangkan span dari $S + T$ adalah seluruh bidang yang melalui kedua garis tersebut.
Kolom $AB$ adalah kombinasi linear dari kolom $A$ , sehingga column space $\begin{bmatrix}A & AB\end{bmatrix}$ telah ada di $C(A)$ .
Invertible.

Reduced Row Echelon Form Lecture 9: The Nullspace of A

Lecture 8: Vector Spaces and Subspaces

Vector Spaces

Subspace

Column Space of AAA

Challenge Problems

Column Space of $A$