Analytic Function

Definition

$f$ dikatakan analitik di $z_0$ jika $f$ memiliki turunan di $z_0$ dan seluruh poin dalam neighborhood $z_0$.

• analitik disebut juga dengan regular dan holomorphic.
• $f$ analitik dalam domain $D$ jika $f$ memiliki turunan di setiap poin dalam $D$.
• jika $f$ analitik di $z_0$ maka $z_0$ dikatakan poin regular di $f$.
• jika $f$ tidak analitik di $z_0$ tetapi analitik di setiap poin dalam neighborhood $z_0$ maka $z_0$ dikatakan singular point di $f$.
• sebuah fungsi analitik di setiap poin dalam domainnya disebut entire.

anggap $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ terdefinisi dalam domain $D$

Theorem

Contoh

1. $f(z) = z$ adalah analitik di setiap poin dalam $\mathbb{C}$.
2. $f(z) = \bar{z}$ tidak analitik di setiap poin dalam $\mathbb{C}$ karena $$\frac{\partial u}{\partial x} = 1 \neq -1 = \frac{\partial v}{\partial y}$$
3. $f(z) = e^z = z^x \cos x + ie^x \sin y$ adalah analitik di setiap poin dalam $\mathbb{C}$. $$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y = -\frac{\partial v}{\partial x}$$
4. $f(z) = (z + 1)(z^2 + 1)$ adalah analitik di setiap poin dalam $\mathbb{C}$.

Theorems of Analytic Function

anggap $f$ adalah analytic function di titik manapun dalam $D$.

Sebuah fungsi $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ dan konjugatnya $\bar{f}(z) = u(x, y) - iv(x, y)$ adalah analitik di $D$. Maka $f(z)$ harus konstan di $D$:

Dari kedua persamaan diatas, kita dapatkan:

sehingga

Sebuah fungsi $f$ analitik dalam region $D$, dan modulusnya $|f(z)|$ konstan di $D$, maka $f(z)$ haruslah konstan di $D$.

dimana $c$ adalah konstanta real.

jika $c = 0$ maka $f(z) = 0$ di $D$.

jika $c \neq 0$ maka:

Harmonic Function

Sebuah fungsi $u(x, y)$ adalah harmonic di $D$ jika $u(x, y)$ memiliki turunan kedua parsial yang kontinu dan memenuhi persamaan Laplace:

Theorem

contoh: $f(z) = e^{-y} \sin x - ie^{-y} \cos x$

• $f$ entire karena

  $$\frac{\partial u}{\partial x} = e^{-y} \cos x = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^{-y} \sin x = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

• $f$ harmonic karena

  $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -e^{-y} \sin x$$

  dan

  $$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = e^{-y} \sin x$$

  sehingga

  $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -e^{-y} \sin x + e^{-y} \sin x = 0$$

Harmonic Conjugate

$v$ dikatakan harmonic conjugate dari $u$ jika

1. $u$ dan $v$ adalah harmonic di $D$.
2. turunan pertama $u$ dan $v$ memenuhi persamaan Cauchy-Riemann.

contoh: $f(z) = z^2$

• karena $f$ entire, maka $u$ dan $v$ adalah harmonic di $D$.
• karena $f$ analitik, maka $u$ dan $v$ memenuhi persamaan Cauchy-Riemann.

sehingga $v$ adalah harmonic conjugate dari $u$.

Theorem

contoh: $f = 2xy + i(x^2 - y^2)$

• $f$ tidak analitik kecuali saat $z = 0$ karena $$\frac{\partial u}{\partial x} = 2y \neq -2y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2x \neq 2x = -\frac{\partial v}{\partial x}$$ sehingga $f$ tidak memenuhi persamaan Cauchy-Riemann.

sehingga $f$ tidak analitik di $D$.