Complex Number

Bilangan kompleks adalah pasangan berurut $(x, y)$ bilangan real yang direpresentasikan dalam bidang kompleks. $x$ sebagai axis real dan $y$ sebagai axis imaginer.

Bilangan kompleks dapat dinotasikan sebagai $z$ sehingga:

\begin{equation} z = (x, y) \end{equation}

$z$ terdiri dari 2 komponen:

\begin{equation} x = \Re(z), \quad y = \Im (z) \end{equation}

atau

\begin{equation} x = \operatorname{Re}(z), \quad y = \operatorname{Im}(z) \end{equation}

Dua bilangan kompleks $z_1$ dan $z_2$ bernilai sama apabila keduanya memiliki komponen real dan imajiner yang sama. Menandakan bahwa keduanya menunjukkan koordinat yang sama di bidang kompleks.

Sums and Products

Jumlahan dan perkalian dari dua bilangan kompleks $z_1 + z_2$ dan $z_1z_2$ didefinisikan sebagai:

\begin{align} (x_1, y_1) + (x_2, y_2) &= (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\\ (x_1, y_1) (x_2, y_2) &= (x_1x_2-y_1y_2, y_1x_2 + x_1y_2) \end{align}

Jika sebuah bilangan real adalah $x$ atau $(x,0)$ dan $j$ menotasikan komponen imajiner $(0, 1)$ , bilangan kompleks dapat dinyatakan dengan

\begin{equation} z = x + jy \end{equation}

⚠️

Teknik Elektro menggunakan notasi $j$ sebagai pengganti $i$

Dengan konvensi bahwa $z^2 = zz, \ z^3 = z^2z,\$ dan lain-lain, kita mengetahui bahwa

j = (0,1)(0,1) = (-1,0)

atau

\begin{equation} (j^2)^n = -1 \end{equation}

bilangan kompleks murni jika dikuadratkan adalah bilangan real.

Basic Algebraic Properties

Komutatif

\begin{equation} z_1 + z_2 = z_2 + z_1, \quad z_1z_2 = z_2z_1 \end{equation}

Asosiatif

\begin{equation} (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3), \quad (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) \end{equation}

Distributif

\begin{equation} z(z_1 + z_2) = zz_1 + zz_2 \end{equation}

Identitas

\begin{equation} z + 0 = z \quad \text{dan} \quad z\cdot 1 = z \end{equation}

Invers penjumlahan

\begin{equation} -z = (-x, -y) \end{equation}

Invers perkalian

\begin{equation} \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{x_2^2 + y_2^2} + j\frac{y_1x_2 - x_1y_2}{x_2^2 + y_2^2} \quad (z_2 \neq 0) \end{equation}

Contoh

$z_1 = -5 + 8j$

$z_2 = 2 - 10j$

Hitunglah

$z_1 \cdot z_2$
$z_1^{-1} + z_2^{-1}$
$\displaystyle\frac{z_1}{z_2}$

Jawaban:

\begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= ((-5) \cdot 2 - 8 \cdot (-10), 2 \cdot 8 + (-5) \cdot (-10))\\ &= ((-10) - (-80), 16j + 50j)\\ &= (70, 66j) = 2(35, 33j)\\ \end{align*}

\begin{align*} z_1^{-1} &= \frac{-5}{(-5)^2 + 8^2} + \frac{8}{(-5)^2 + 8^2}\\ &= \frac{-5}{89} + \frac{8}{89}\\ z_2^{-1} &= \frac{2}{104} + \frac{-10}{104}\\ \\ z_1^{-1} + z_2^{-1} &= (\frac{-5}{89} + \frac{2}{104}, \frac{8}{89}j + \frac{-10}{104}j) &= \frac{-171 + 29j}{4628} \end{align*}

\begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{(-5)\cdot 2 + 8\cdot (-10)}{2^2 + (-10)^2} + \frac{8\cdot 2 - (-5)\cdot (-10)}{2^2 + (-10)^2}j\\ &= \frac{(-10) + (-80)}{4 + 100} + \frac{16 - 50}{4 + 104}j\\ &= - \frac{1}{52}(45 + 17j) \end{align*}

Vectors and Moduli

Bilangan kompleks $z = x + iy$ dapat diasosiasikan dengan vektor dalam suatu bidang. Penjumlahan dua vektor $z_1 + z_2$ dapat dilakukan sebagaimana penjumlahan 2 vektor pada umumnya.

Modulus (nilai absolut) dari bilangan kompleks $z = x + iy$ didefinisikan sebagai bilangan asli positif $\sqrt{x^2 + y^2}$ yang dinotasikan sebagai $|z|$

\begin{equation} |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \end{equation}

Modulus memiliki sifat:

$|z| \geq 0$
$|z| = 0$ jika dan hanya jika $z = 0$
$|z_1z_2| = |z_1||z_2|$
$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

Complex Conjugate

Konjugasi dari bilangan kompleks $z = x + iy$ adalah bilangan kompleks $z^* = x - iy$ . Konjugasi dari $z$ dinyatakan sebagai $z^*$ atau $\bar{z}$ .

\begin{equation} \bar{z} = x - iy \end{equation}

Konjugasi adalah refleksi terhadap axis real. Perhatikan bahwa

\bar{\bar{z}} = z \quad \text{dan} \quad |\bar{z}| = |z|

Konjugasi juga memiliki sifat:

$\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$
$\overline{z_1z_2} = \bar{z_1}\bar{z_2}$
$\overline{z_1/z_2} = \bar{z_1}/\bar{z_2} \quad (z_2 \neq 0)$
$\overline{z^n} = \bar{z}^n$
$\displaystyle\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}\quad \text{dan} \quad\operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2j}$

Exponential and Polar Form

Andaikan $r$ dan $\theta$ adalah panjang dan sudut yang terbentuk oleh bilangan kompleks $z = x + iy$ . Karena $x = r\cos\theta$ serta $y = r\sin\theta$ , bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai

\begin{equation} z = r(\cos \theta + j\sin \theta) \end{equation}

dengan $r = |z|$ dan $\theta = \arctan(y/x)$ .

Euler's Formula

Euler's formula menyatakan bahwa

\begin{equation} e^{j\theta} = \cos \theta + j\sin \theta \end{equation}

sehingga

\begin{equation} z = r(\cos \theta + j\sin \theta) = re^{j\theta} \end{equation}

dimana $r = |z|$ dan $\theta = \arg z$ .

Polar Properties

$z_1z_2 = r_1r_2e^{j(\theta_1 + \theta_2)}$
$\displaystyle\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{j(\theta_1 - \theta_2)}$
$\displaystyle z^n = r^ne^{jn\theta}, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$
$\displaystyle z^{-1} = \frac{1}{r}e^{-j\theta}$

De Moivre's Theorem

De Moivre's menyatakan bahwa

\begin{equation} (z^n)^m = z^{nm} \end{equation}

sehingga

\begin{equation} (r(\cos \theta + j\sin \theta))^n = r^n(\cos n\theta + j\sin n\theta) \end{equation}

Contoh:

Buktikan persamaan trigonometri berikut:

$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$

Jawab:

Misalkan $z = \cos \theta + j\sin \theta$ . Maka

\begin{align*} z^3 &= (\cos \theta + j\sin \theta)^3\\ &= \cos^3 \theta + 3j\cos^2 \theta \sin \theta - 3\cos \theta \sin^2 \theta - j\sin^3 \theta\\ &= (\cos^3 \theta - 3\cos \theta \sin^2 \theta) + j(3\cos^2 \theta \sin \theta - \sin^3 \theta)\\ &= (4 \cos^3 \theta - 3\cos \theta) + j(3\cos^2 \theta \sin \theta - \sin^3 \theta)\\ \end{align*}

Principal Arguments

Principal value dari $\arg z$ adalah $\text{Arg} z$ yang didefinisikan sebagai sudut antara vektor $z$ dan axis real. Principal value dari $\arg z$ adalah unik dalam interval $(-\pi, \pi]$ .

\begin{equation} \arg(z) = \text{Arg}(z) + 2\pi k, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \end{equation}

$\arg z$ berupa himpunan tak hingga dari nilai sudut yang memenuhi $z = r(\cos \theta + j\sin \theta)$

$\text{Arg} z$ adalah nilai tunggal dari $\arg z$ dalam interval $(-\pi, \pi]$

Properties

$\arg z_1z_2 = \arg z_1 + \arg z_2$
$\arg \displaystyle\frac{z_1}{z_2} = \arg z_1 - \arg z_2$
$\arg z^n = n\arg z$
$\arg \displaystyle\frac{1}{z} = -\arg z$
$\arg \bar{z} = -\arg z$

Contoh:

Hitunglah $\arg z$ dari bilangan kompleks $z = 1 - j\sqrt{3}$

Jawab:

Jika digambar dalam grafik, maka $z$ berada pada kuadran ke-4. Sehingga nilai $\theta$ adalah negatif.

-\theta = -\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}

Sehingga

\arg(z) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots

dan

\text{Arg}(z) = -\frac{\pi}{3}

Exercise

Write the given number in the form $a + jb$

3j + \frac{1}{2 - j}

Represent in polar form

\frac{-4+19i}{2+5i}

Determine the principal value of the argument

z = (i + 1)^{20}

Answers

Sederhanakan term kedua,

\frac{1}{2 - j} = \frac{2 + j}{(2 - j)(2 + j)} = \frac{2 + j}{5}

Sehingga,

3j + \frac{1}{2 - j} = 3j + \frac{2 + j}{5} = \frac{2}{5} + \frac{16}{5}j

Sederhanakan terlebih dahulu

\frac{-4 + 19j}{2 + 5j} \cdot \frac{2 - 5j}{2 - 5j} = \frac{-8 + 20j + 38j + 95}{4 + 25} = \frac{87 + 58j}{29} = 3 + j2

Cari nilai $r$ dan $\theta$ ,

r = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}

dan

\theta = \arctan\left(\frac{2}{3}\right)

Sehingga bentuk polarnya adalah

\sqrt{13}e^{\displaystyle j\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)}

Jabarkan dalam bentuk polar

i + 1 = \sqrt{2}e^{j\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + j\sin \frac{\pi}{4}\right)

Gunakan De Moivre's Theorem,

\begin{align*} z^{20} &= \left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + j\sin \frac{\pi}{4}\right)\right)^{20}\\ &= 2^{10}\left(\cos 5\pi + j\sin 5\pi\right) \\ &= 2^{10}\left(\cos (4 + 1)\pi + j\sin (4 + 1)\pi\right)\\ &= 2^{10}\left(\cos \pi + j\sin \pi\right)\\ &= -1024 + 0j\\ \end{align*}

Diagonalization Roots of Complex Number