Contour and Antiderivatives

Nama	Harun
NIM	23/514148/TK/56466
Kelas	B

Contour

Arcs

Arc adalah sebuah himpunan poin $z = (x, y)$ dalam sebuah bidang kompleks yang memenuhi:

x = x(t), \quad y = y(t), \quad \text{atau} \quad z(t) = x(t) + iy(t)

dimana $x(t)$ dan $y(t)$ adalah fungsi-fungsi kontinu dari $t$ dalam interval tertentu $a \leq t \leq b$ .

arc disebut simpel atau Jordan Arc jika fungsi $z(t)$ adalah satu-satu pada interval $a \leq t \leq b$ , atau $z(t) \neq z(s)$ untuk $t \neq s$ .
arc disebut tertutup jika $z(a) = z(b)$ untuk $a, b$ adalah batas interval $t$ .
arc disebut simpel tertutup apabila fungsi $z(t)$ adalah satu-satu pada interval $a \leq t \leq b$ dan $z(a) = z(b)$ .

Kurva tertutup berorientasi positif jika arahnya berlawanan dengan arah jarum jam.

Contour

Arc dapat diturunkan apabila komponen $x'(t)$ dan $y'(t)$ dari persamaan:

z'(t) = x'(t) + iy'(t)

adalah kontinu pada interval $a \leq t \leq b$ .

arc $z = z(t) \quad a \leq t \leq b$ disebut smooth jika

$z'(t)$ kontinu pada $a \leq t \leq b$
dan $z'(t) \neq 0$ untuk $a \leq t \leq b$ .

gabungan dari sejumlah arc yang smooth disebut contour.

Contour Integral

Jika $f(z)$ adalah fungsi yang kontinu pada contour $C$ yang smooth, maka integral dari $f(z)$ sepanjang $C$ didefinisikan sebagai:

\int_C f(z) \, dz = \int_a^b f(z(t))z'(t) \, dt

sebagai integral garis atau kontur dari $f$ sepanjang $C$ didefinisikan oleh parameter $t$ .

jika $C$ adalah kontur tertutup, maka integral dari $f(z)$ sepanjang $C$ didefinisikan sebagai:

\oint_C f(z) \, dz = \int_C f(z) \, dz

Antiderivatives

Independence of Path

dengan asumsi bahwa:

$D$ adalah domain sehingga $f:D \to \mathbb{C}$ adalah fungsi yang kontinu
$C$ adalah kontur di $D$ yang dimulai dari $z_0$ dan berakhir di $z_1$

dikatakan bahwa $f(z)$ memiliki antiderivatif di $D$ jika untuk setiap kontur $C$ di $D$ yang berakhir di $z_1$ dan $z_2$ maka:

F'(z) = \frac{d}{dz}F(z) = f(z)

Theorem:

jika $f$ memiliki antiderivasi $F$ di $D$ , maka integral dari $f$ sepanjang $C$ didefinisikan oleh:

\int_C f(z) \, dz = F(z_1) - F(z_0)

Cauchy-Goursat Theorem

jika $D$ adalah domain terbatas dimana batas $C$ adalah smooth, maka

Theorem:

jika $f(z)$ analitik dan $f'(z)$ kontinu di $D$ dan $C$ , maka:

\oint_C f(z) \, dz = 0

Green's Theorem

jika $P(x, y)$ dan $Q(x, y)$ memiliki turunan parsial yang kontinu di $D$ dan $C$ adalah kontur yang smooth di $D$ , maka:

Theorem:

\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx \, dy

jika sebuah kontur $C$ melingkupi seluruh kontur $c_1, c_2, \ldots, c_n$ dimana $c_1, c_2, \ldots, c_n$ adalah kontur simpel tertutup berlwanan arah dari $C$ , maka:

\int_C f(z) \, dz = \sum_{k=1}^n \int_{c_k} f(z) \, dz

Upperbound for Contour Integrals

jika $|f(z)| \leq M$ untuk setiap $z$ di $C$ dan panjang $C$ adalah $L$ , maka:

\left| \int_C f(z) \, dz \right| \leq ML

Derivatives of Analytic Functions

jika $D$ adalah domain yang tersambung dan $z_0$ adalah interior poin dari $D$ , maka:

Theorem:

jika $f(z)$ adalah analitik di $D$ , maka $f'(z)$ adalah analitik di $D$ .

f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}} \, d\zeta

Elementary Function and Complex Calculus L08