Continuity and Derivative

Nama	Harun
NIM	23/514148/TK/56466
Kelas	B

Continuity

Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu pada suatu titik $z_0$ jika:

\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)

yang memiliki kesamaan dengan definisi:

|f(z) - f(z_0)| < \varepsilon \quad \text{untuk } |z - z_0| < \partial

maka $f$ kontinu pada $z_0$ .

Contoh:

$f(z) = z/(z^2 + 1)$

$f$ tidak kontinu pada $\pm j$ karena f( $\pm j$ ) tidak terdefinisi
$f$ $f$ kontinu pada $1$ $1$ karena:
- $f(1) = 1/2$
- $\displaystyle\lim_{z \to 1} f(z) = 1/2$

Contoh:

$f(z) = \begin{cases} \displaystyle\frac{z^2 + 3zi - 2}{z+i}, & z \neq -i \\ 2i, & z = -i \end{cases}$

$f$ tidak kontinu pada $-i$ karena

$\begin{align*} \lim_{z \to -i} f(z) &= \lim_{z \to -i} \frac{z^2 + 3zi - 2}{z+i} \\ &= \lim_{z \to -i} \frac{(z+i)(z+2i)}{z+i} \\ &= \lim_{z \to -i} z+2i \\ &= -i+2i = i \end{align*}$
$f(-i) = 2i$

Sehingga, karena $\lim_{z \to -i} f(z) \neq f(-i)$ , maka $f$ tidak kontinu pada $z=-i$ .

$\text{Remarks}$

$f$ dikatakan kontinu dalam region $R$ jika $f$ kontinu pada setiap titik dalam $R$ .
Jika $f$ dan $g$ kontinu dalam suatu titik, maka $f+g$ , $f-g$ , $fg$ , $f/g, \ g \neq 0$ , dan $f \circ g$ juga kontinu dalam titik tersebut.
$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ kontinu pada $z_0 = x_0 + iy_0$ jika dan hanya jika $u$ dan $v$ kontinu pada $(x_0, y_0)$ .

Derivative

Derivatif dari fungsi $f$ pada titik $z$ didefinisikan oleh limit sebagai:

f'(z) = \frac{df}{dz} = \lim_{\partial z \to 0} \frac{f(z + \partial z) - f(z)}{\partial z}

Jika limit tersebut ada, maka $f$ dikatakan memiliki turunan pada titik $z$ .

⚠️

$\partial z$ adalah suatu bilangan kompleks, sehingga limitnya akan selalu sama jika didekati dari arah manapun untuk $\partial z \to 0$ . $f$ dikatakan differentiable pada $z$ jika limit tersebut ada.

Contoh:

Carilah turunan dari $f(z) = z^3$ .

\begin{align*} f'(z) &= \lim_{\partial z \to 0} \frac{(z + \partial z)^3 - z^3}{\partial z} \\ &= \lim_{\partial z \to 0} \frac{z^3 + 3z^2\partial z + 3z(\partial z)^2 + (\partial z)^3 - z^3}{\partial z} \\ &= \lim_{\partial z \to 0} 3z^2 + 3z\partial z + (\partial z)^2 \\ &= 3z^2 \end{align*}

Sehingga, $f$ differentiable pada setiap titik dan turunannya adalah $f'(z) = 3z^2$ .

Contoh:

Carilah turunan dari $f(z) = \overline{z}$ .

\begin{align*} f'(z) &= \lim_{\partial z \to 0} \frac{\overline{z} + \overline{\partial z} - \overline{z}}{\partial z} \\ &= \lim_{\partial z \to 0} \frac{\overline{\partial z}}{\partial z} \end{align*}

tetapi $\lim_{\partial z \to 0} \overline{\partial z}/\partial z$ tidak ada, sehingga $f$ tidak differentiable pada setiap titik.

Contoh:

$f(z) = |z|^2$

\begin{align*} f'(z) &= \lim_{\partial z \to 0} \frac{|z + \partial z|^2 - |z|^2}{\partial z} \\ &= \lim_{\partial z \to 0} \frac{(z + \partial z)(\overline{z} + \overline{\partial z}) - |z|^2}{\partial z} \\ &= \overline{z} + \overline{\partial z} + z\frac{\overline{\partial z}}{\partial z}\\ &= \begin{cases} \overline{z} + \partial z + z, \quad \partial z = \partial x + 0i\\ \overline{z} - \partial z - z, \quad \partial z = 0 + \partial y i \end{cases} \end{align*}

maka, jika $\lim$ dari $f(z)$ ada, maka:

\overline{z} + 0 + z = \overline{z} - 0 - z, \quad \implies \quad z = 0

$\therefore f$ differentiable pada $z = 0$ dan $f'(z) = 0$ .

catatan: $f(z) = |z|^2 = u(x, y) + iv(x, y)$ dimana

u(x, y) = x^2 + y^2, \quad v(x, y) = 0

$f$ kontinu dimanapun karena $u(x, y)$ dan $v(x, y)$ kontinu dimanapun.
tetapi $f$ tidak differentiable dimanapun karena $f'(z) = 0$ hanya pada $z = 0$ .

sehingga, untuk setiap $f$ kita dapat menyimpulkan:

Kontinuitas TIDAK menjamin differentiability. Akan tetapi adanya derivatif berimplikasi akan adanya kontinuitas:

\lim_{z\to z_0} \left[f(z) - f(z_0)\right] = \lim_{z\to z_0} \left[f'(z)(z - z_0)\right] = 0

sehingga, jika $f$ differentiable pada $z_0$ , maka $f$ kontinu pada $z_0$ .

Differentiation Formulas

$\displaystyle\frac{dc}{dz} = 0$ dan $\displaystyle\frac{d}{dz}[cf(z)] = cf'(z)$ dimana $c$ adalah konstanta.
$\displaystyle\frac{d}{dz}[z^n] = nz^{n-1}$ dimana $n$ adalah bilangan bulat positif.
$\displaystyle\frac{d}{dz}[f(z) + g(z)] = f'(z) + g'(z)$
$\displaystyle\frac{d}{dz}[f(z)g(z)] = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)$
jika $h(z) = g(f(z))$ , maka $\displaystyle\frac{dh}{dz} = g'(f(z))f'(z)$

Cauchy-Riemann Equations

Andaikan

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

dan $f'(z)$ ada ketika $z_0 = (x_0, y_0), maka

turunan pertama dari $u$ dan $v$ harus ada di (x_0, y_0)
turunan tersebut harus memenuhi Cauchy-Riemann equations: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial z} \quad \text{di} (x_0, y_0)$

dan $f'(z_0)$ dapat dituliskan sebagai:

f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}

Contoh: $f(z) = |z|^2$

u(x, y) = x^2 + y^2, \quad v(x, y) = 0

jika Cauchy-Riemann equations terpenuhi, maka:

\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} &= 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= 2y, \quad -\frac{\partial v}{\partial x} = 0 \end{align*}

maka, $f'(z) = 2x + 2yi$ dan $f'(z) = 0$ hanya pada $z = 0$ .

misalkan $z = x + iy = re^{i\theta} \neq 0$ dengan $x = r \cos \theta$ dan $y = \sin \theta$

aplikasikan chain rule:

\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta \quad &\text{dan} \frac{\partial u}{\partial \theta} \quad \frac{\partial u}{\partial \theta} = -r\frac{\partial u}{\partial x}\sin\theta + r\frac{\partial u}{\partial y}\cos\theta\\ \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial v}{\partial y}\sin\theta \quad &\text{dan} \quad \frac{\partial v}{\partial \theta} = -r\frac{\partial v}{\partial x}\sin\theta + r\frac{\partial v}{\partial y}\cos\theta \end{align*}

substitusikan $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ dan $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ . Sehingga Cauchy-Riemann dalam bentuk polar adalah:

\begin{align*} r\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial \theta} \quad \text{dan} \quad \frac{\partial u}{\partial \theta} = -r\frac{\partial v}{\partial r} \end{align*}

Function of Complex Number Analytic Function