Lecture 2: Roots and Regions in the Complex Plane

Roots of Complex Numbers

Ada sebuah poin $z = re^{i\theta}$ dalam sebuah lingkaran dengan radius $r$ . Poin ini akan kembali ke titik awalnya setelah berputar sejauh $2\pi$ radian. Sehingga dua bilangan kompleks non-zero

z_1 = r_1e^{i\theta_1} \quad \text{dan} \quad z_2 = r_2e^{i\theta_2}

adalah sama jika dan hanya jika

z_1 = z_2 \quad \textbf{dan} \quad \theta_1 = \theta_2 + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}

Observasi ini berguna untuk mencari akar ke-n dari suatu bilangan kompleks non-zero $z_0 = r_0 e^{i\theta_0}$ , dimana $n \in \mathbb{N}$ .

r^n e^{in\theta} = r_0 e^{i\theta_0}

Maka,

r^n = r_0 \quad \textbf{dan} \quad n\theta = \theta_0 + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}

Sehingga $\sqrt[n]{r_0}$ adalah akar unik ke-n dari $r_0$ , dan

\theta = \frac{\theta_0 + 2\pi k}{n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1

sehingga bilangan kompleks

z = \sqrt[n]{r_0} \exp \left[i\frac{\theta_0 + 2\pi k}{n} \right], \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1

adalah akar ke-n dari $z_0$ . Bentuk eksponensial tersebut memberitahu bahwa seluruh akar tersebut terletak dalam lingkaran $\boxed{|z| = \sqrt[n]{r_0}}$ dari pusat origin dan berjarak $2\pi/n$ dari satu sama lain dimulai dari argumen $\theta_0/n$ . Nilai akar dapat dicari dengan

\begin{equation} c_k = \sqrt[n]{r_0} \exp \left[i\frac{\theta_0 + 2\pi k}{n} \right], \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \end{equation}

dengan $c_k$ adalah akar ke-n dari $z_0$ . Jika nilai $\theta_0$ berada dalam range $-\pi < \theta_0 \leq \pi$ , $c_0$ disebut principal root.

Contoh:

Carilah $n$ akar dari $1 + 0i$ untuk $n = 2, 3, 4, 5$

1 = 1 \exp [i(0 + 2\pi k)] \quad \text{untuk } k \in \mathbb{N}

sehingga akar-akar dari $1$ adalah

c_k = \sqrt[n]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi k}{n} \right], \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1

untuk $n = 2$ , maka

\begin{align*} c_0 &= \sqrt[2]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 0}{2} \right] = 1 \exp [i(0)] = 1 \\ c_1 &= \sqrt[2]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 1}{2} \right] = 1 \exp [i(\pi)] = -1 \end{align*}

untuk $n = 3$ , maka

\begin{align*} c_0 &= \sqrt[3]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 0}{3} \right] = 1 \exp [i(0)] = 1 \\ c_1 &= \sqrt[3]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 1}{3} \right] = 1 \exp \left[i\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right] = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \\ c_2 &= \sqrt[3]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 2}{3} \right] = 1 \exp \left[i\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right] = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

untuk $n = 4$ , maka

\begin{align*} c_0 &= \sqrt[4]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 0}{4} \right] = 1 \exp [i(0)] = 1 \\ c_1 &= \sqrt[4]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 1}{4} \right] = 1 \exp \left[i\left(\frac{\pi}{2}\right)\right] = i \\ c_2 &= \sqrt[4]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 2}{4} \right] = 1 \exp \left[i\left(\pi\right)\right] = -1 \\ c_3 &= \sqrt[4]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 3}{4} \right] = 1 \exp \left[i\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right] = -i \end{align*}

untuk $n = 5$ , maka

\begin{align*} c_0 &= \sqrt[5]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 0}{5} \right] = 1 \exp [i(0)] = 1 \\ c_1 &= \sqrt[5]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 1}{5} \right] = 1 \exp \left[i\left(\frac{2\pi}{5}\right)\right] = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) \\ c_2 &= \sqrt[5]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 2}{5} \right] = 1 \exp \left[i\left(\frac{4\pi}{5}\right)\right] = \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) \\ c_3 &= \sqrt[5]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 3}{5} \right] = 1 \exp \left[i\left(\frac{6\pi}{5}\right)\right] = \cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{6\pi}{5}\right) \\ c_4 &= \sqrt[5]{1} \exp \left[i\frac{0 + 2\pi \cdot 4}{5} \right] = 1 \exp \left[i\left(\frac{8\pi}{5}\right)\right] = \cos\left(\frac{8\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{8\pi}{5}\right) \end{align*}

Contoh:

Carilah akar dari $(-8 - 8\sqrt{3}i)^{1/4}$

\begin{align*} r_0 &= \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16 \\ \theta_0 &= \arctan\left(\frac{-8\sqrt{3}}{-8}\right) - \pi = \arctan\left(\sqrt{3}\right) - \pi = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} \end{align*}

sehingga akar-akar dari $(-8 - 8\sqrt{3}i)^{1/4}$ adalah

\begin{align*} c_k &= \sqrt[4]{16} \exp \left[i\frac{-2\pi/3 + 2\pi k}{4} \right], \quad k = 0, 1, 2, 3 \\ &= 2 \exp \left[i\frac{-2\pi/3 + 2\pi k}{4} \right], \quad k = 0, 1, 2, 3 \end{align*}

sehingga

\begin{align*} c_0 &= 2 \exp \left[i\frac{-2\pi/3 + 2\pi \cdot 0}{4} \right] = 2 \exp \left[i\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right] = \sqrt{3} - i \\ c_1 &= 2 \exp \left[i\frac{-2\pi/3 + 2\pi \cdot 1}{4} \right] = 2 \exp \left[i\left(\frac{\pi}{3}\right) \right] = 1 + i\sqrt{3} \\ c_2 &= 2 \exp \left[i\frac{-2\pi/3 + 2\pi \cdot 2}{4} \right] = 2 \exp \left[i\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right] = -\sqrt{3} + i \\ c_3 &= 2 \exp \left[i\frac{-2\pi/3 + 2\pi \cdot 3}{4} \right] = 2 \exp \left[i\left(\frac{4\pi}{3}\right) \right] = -1 - i\sqrt{3} \end{align*}

Regions in the Complex Plane

Sebuah neighborhood dari sebuah titik $z_0$ adalah himpunan semua titik $z$ yang berjarak kurang dari $\epsilon$ dari $z_0$ , yaitu

N_\epsilon(z_0) = \{z \in \mathbb{C} : |z - z_0| < \epsilon\}

Sebuah titik $z_0$ disebut

interior point dari himpunan $S$ jika terdapat neighborhood $N_\epsilon(z_0)$ yang seluruhnya terdapat dalam $S$ .
exterior point dari himpunan $S$ jika terdapat neighborhood $N_\epsilon(z_0)$ yang seluruhnya terdapat di luar $S$ .
boundary point dari himpunan $S$ jika setiap neighborhood $N_\epsilon(z_0)$ mengandung titik-titik dari $S$ dan titik-titik yang tidak ada di $S$ .

Sebuah set $S$ disebut

open set jika dan hanya jika setiap titiknya adalah interior point.
closed set jika dan hanya jika setiap titiknya adalah boundary point.

Closure dari sebuah set $S$ adalah himpunan semua titik yang terdapat dalam $S$ atau adalah boundary point dari $S$ .

Beberapa set tidak terbuka maupun tertutup.

Bounded Sets

Sebuah set $S$ disebut bounded jika titik manapun $z \in S$ ,

|z| \leq M, \quad \text{untuk suatu } M < \infty

selain itu disebut unbounded.

Contoh:

$\{z | \operatorname{Re} z \leq 0\}$ adalah unbounded.
$\{z | |z| \leq 1\}$ adalah bounded.
$\{z | \theta_1 \leq \operatorname{Arg} z \leq \theta_2\}$ adalah unbounded.

Loci in the Complex Plane

Sebuah locus adalah himpunan semua titik $z$ yang memenuhi suatu persamaan atau ketidakpersamaan. Sebagai contoh, himpunan semua titik $z$ yang memenuhi $|z - z_0| = r$ adalah lingkaran dengan pusat $z_0$ dan radius $r$ .

Contoh lain:

$|z - a| = r, \ a\in \mathbb{C}, r\in \mathbb{R}$ adalah lingkaran dengan pusat $a$ dan radius $r$ .
$|z - a| < r, \ a\in \mathbb{C}, r\in \mathbb{R}$ adalah himpunan semua titik $z$ yang berjarak kurang antara $r$ serta $a$ , yaitu neighborhood $N_r(a)$ .
$|z - a| = |z - b|, \ a, b \in \mathbb{C}$ adalah himpunan semua titik $z$ yang berjarak sama dari $a$ dan $b$ , yaitu garis lurus yang tegak lurus dengan segmen $ab$ .

Exercises

Compute all roots. Give the principal nth root in each case. Sketch the root $c_0, c_1, \dots c_{n-1}$ on an appropriate circle centered at the origin.

\left( \frac{1+i}{\sqrt{3} + i} \right)^{1/6}

Answer:

Simplify the expression

\begin{align*} \frac{1+i}{\sqrt{3} + i} &= \frac{1+i}{\sqrt{3} + i} \cdot \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} - i} \\ &= \frac{\sqrt{3} - i + i\sqrt{3} + 1}{4} \\ &= \frac{\sqrt{3} + 1}{4} + \frac{\sqrt{3} - 1}{4}i \end{align*}

The polar form of the expression is

\begin{align*} r_0 &= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3} - 1}{4}\right)^2}\\ &= \sqrt{\frac{4}{16} + \frac{4}{16}} = \sqrt{\frac{8}{16}}\\ &= \frac{\sqrt{8}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*}

and

\theta_0 = \arctan\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}\right) = \frac{\pi}{12}

The nth roots of the expression are given by

c_k = \sqrt[6]{\frac{\sqrt{2}}{2}} \exp \left[i\frac{\pi/12 + 2\pi k}{6} \right], \quad k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

for $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ , we have

\begin{align*} c_0 &= \sqrt[6]{\frac{\sqrt{2}}{2}} \exp \left[i\frac{\pi/12 + 2\pi \cdot 0}{6} \right] = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{1/6} \left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right) \\ &\approx 0.943 + 0.837i \\ c_1 &= \sqrt[6]{\frac{\sqrt{2}}{2}} \exp \left[i\frac{\pi/12 + 2\pi \cdot 1}{6} \right] = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{1/6} \left(\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)\right) \\ &\approx 0.436 + 0.837i\\ c_2 &= \sqrt[6]{\frac{\sqrt{2}}{2}} \exp \left[i\frac{\pi/12 + 2\pi \cdot 2}{6} \right] = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{1/6} \left(\cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{13\pi}{12}\right)\right) \\ &\approx -0.507 + 0.796i\\ c_3 &= \sqrt[6]{\frac{\sqrt{2}}{2}} \exp \left[i\frac{\pi/12 + 2\pi \cdot 3}{6} \right] = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{1/6} \left(\cos\left(\frac{19\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{19\pi}{12}\right)\right) \\ &\approx -0.943 - 0.837i \\ c_4 &= \sqrt[6]{\frac{\sqrt{2}}{2}} \exp \left[i\frac{\pi/12 + 2\pi \cdot 4}{6} \right] = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{1/6} \left(\cos\left(\frac{25\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{25\pi}{12}\right)\right) \\ &\approx -0.436 - 0.837i\\ c_5 &= \sqrt[6]{\frac{\sqrt{2}}{2}} \exp \left[i\frac{\pi/12 + 2\pi \cdot 5}{6} \right] = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{1/6} \left(\cos\left(\frac{31\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{31\pi}{12}\right)\right) \\ &\approx 0.507 - 0.796i \end{align*}

The nth roots of any complex number whose modulus is $r$ can be graphed on the circle whose radius is $\sqrt[n]{r}$

In our case the six roots of $\displaystyle z = \frac{1 + i}{\sqrt{3} + i}$ will be graphed on the circle whose radius is $r = \sqrt[6]{0.707}$ and center is at origin.

Complex Number Function of Complex Number