Partial Fraction and Cauchy Integrals

Nama	Harun
NIM	23/514148/TK/56466
Kelas	B

Partial Fraction

Kita dapat mencari koefisien $r_i$ sedemikian sehingga

\begin{align*} \hat{u}(s) &= \frac{n(s)}{d(s)} = \frac{n(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)} \\ &= \frac{r_1}{s-p_1} + \frac{r_2}{s-p_2} + \cdots + \frac{r_n}{s-p_n} \end{align*}

yang disebut partial fraction expansion untuk beberapa kasus berikut:

$d(s)$ memiliki akar seluruhnya real berbeda.
$d(s)$ memiliki akar seluruhnya real namun ada yang berulang.
$d(s)$ memiliki akar kompleks berulang.

Real, Non-repeated Roots

Misalkan sebuah fungsi rasional $\hat{y}(s)$ memiliki bentuk

\hat{y}(s) = \frac{n(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}

dengan $p_1, p_2, \ldots, p_n$ adalah akar-akar berbeda dari $d(s)$ . Maka, kita dapat menuliskan $\hat{y}(s)$ sebagai

THEOREM

\hat{y}(s) = \frac{r_1}{s-p_1} + \frac{r_2}{s-p_2} + \cdots + \frac{r_n}{s-p_n}

dengan $r_i$ adalah konstanta real.

dengan langkah:

⚠️

Terdapat $n$ persamaan yang harus diselesaikan untuk mencari $r_i$ .
Untuk mencari $r_i$ , kita dapat menyelesaikan untuk $s = p_i$ .

\begin{equation} r_i = \hat{y}(s)(s-p_i)\Big|_{s=p_i} \end{equation}

Contoh:

f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 3x + 2}

pisahkan menjadi 2 pecahan berbeda (polinomial berderajat 2):

f(x) = \frac{2x + 6}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}

cari nilai $A$ :

A = \frac{2x + 6}{x+2}\Big|_{x=-1} = \frac{2(-1) + 6}{-1+2} = 4

cari nilai $B$ :

B = \frac{2x + 6}{x+1}\Big|_{x=-2} = \frac{2(-2) + 6}{-2+1} = -2

sehingga, $f(x)$ dapat dituliskan sebagai

f(x) = \frac{4}{x+1} - \frac{2}{x+2}

Namun,

Real, Repeated Roots

Misalkan sebuah fungsi rasional $\hat{y}(s)$ memiliki bentuk

\hat{y}(s) = \frac{n(s)}{(s-p_1)^q(s-p_2)\cdots(s-p_n)}

dengan $p_1, p_2, \ldots, p_n$ adalah akar-akar berbeda dari $d(s)$ dan $q$ adalah pangkat akar yang berulang. Maka, kita tidak dapat menggunakan metode sebelumnya. Sebagai gantinya, kita dapat menuliskan $\hat{y}(s)$ sebagai:

\begin{align*} \hat{y}(s) &= \frac{r_1}{s-p_1} + \frac{r_2}{(s-p_1)^2} + \cdots + \frac{r_q}{(s-p_1)^q} + \frac{r_{q+1}}{s-p_2} + \cdots + \frac{r_n}{s-p_n} \\ &= \left(\frac{r_{11}}{s-p_1} + \frac{r_{12}}{(s-p_1)^2} + \cdots + \frac{r_{1q}}{(s-p_1)^q}\right) + \left(\frac{r_{q+1}}{s-p_2} + \cdots + \frac{r_n}{s-p_n}\right) \end{align*}

dengan $r_{ij}$ real-valued.

contoh untuk $\displaystyle \frac{(s + 3)^2}{(s + 2)^3 (s + 1)^2}$ , kita dapat menuliskannya sebagai

\frac{r_{11}}{s+2} + \frac{r_{12}}{(s+2)^2} + \frac{r_{13}}{(s+2)^3} + \frac{r_{21}}{s+1} + \frac{r_{22}}{(s+1)^2}

kita dapat suatu masalah dengan lebih banyak koefisien yang dicari.

Langkah pertama: selesaikan seperti sebelumnya jika $p_i$ tidak berulang ( $q$ = 1)

Langkah kedua: selesaikan untuk $r_{ij}$ jika $p_i$ berulang ( $q$ > 1) dengan mengalikannya dengan $(s-p_i)^{q}$ . Lalu evaluasi untuk nilai $s = p_i$ .

r_{1q} = \hat{y}(s)(s-p_1)^{q}\Big|_{s=p_1}

Untuk mencari koefisien yang lain, kita dapat menggunakan turunan:

\frac{d}{ds} \ (\hat{y}(s)(s - p_1)^q)\big|_{s=p_1} \ = \ r_{1,(q - 1)}

dengan ekspansi

r_{1,j} = \frac{1}{(q - j - 1)!} \ \frac{d^{q - j - 1}}{ds^{q - j - 1}} \ (\hat{y}(s)(s - p_1)^q)\big|_{s=p_1}

contoh sederhana $\displaystyle \frac{x + 3}{(x + 2)^2 (x + 1)}$ , kita dapat menuliskannya sebagai

f(x) = \frac{r_{11}}{x+2} + \frac{r_{12}}{(x+2)^2} + \frac{r_2}{x+1}

cari nilai $r_{2}$ :

r_{2} = \frac{x + 3}{(x+2)^2}\Big|_{x=-1} = \frac{-1 + 3}{(-1+2)^2} = 2

cari nilai $r_{12}$ :

r_{12} = \frac{x + 3}{x+1}\Big|_{x=-2} = \frac{-2 + 3}{(-2+1)} = -1

lalu lakukan diferensiasi untuk menghitung $r_{11}$ :

\begin{align*} r_{11} &= \frac{d}{dx} \left(\frac{x + 3}{x+1}\right)\Big|_{x=-2} \\ &= \left(\frac{1}{x+1} - \frac{s+3}{(s+1)^2}\right) \Big|_{x=-2} \\ &= -2 \end{align*}

sehingga kita memiliki $f(x)$ sebagai

f(x) = \frac{-2}{x+2} + \frac{-1}{(x+2)^2} + \frac{2}{x+1}

Complex Roots

Misalkan sebuah fungsi rasional $\hat{y}(s)$ memiliki bentuk

\hat{y}(s) = \frac{3}{s(s^2 + 2s + 5)}

memiliki akar $s = 0$ , $s = -1 + 2i$ , dan $s = -1 - 2i$ . Perhatikan bahwa:

Akar kompleks selalu berpasangan konjugat.
Simple partial fractions dapat digunakan namun penyelesaiannya sangat kompleks.

Contoh:

f(x) = \frac{2(x + 2)}{(s + 1)(s^2 + 4)} = \underbrace{\frac{k_1s + k_2}{s^2 + 4}}_{\text{complex}} + \underbrace{\frac{r_1}{s + 1}}_{\operatorname{Re}}

cari koefisien dari $r_1$ :

r_1 = \frac{2(s + 2)}{s^2 + 4}\Big|_{s=-1} = \frac{2(-1 + 2)}{(-1)^2 + 4} = \frac{2}{5}

kalikan dengan $(s^2 + 4)(s + 1)$ :

2(s + 2) = (s + 1)(k_1s + k_2) + r_1(s^2 + 4)

ekspansi dan masukkan nilai $r_1 = 2/5$ :

2s + 4 = (k_1 + 2/5)s^2 + (k_2 + k_1)s + k_2 + 8/5

menyamakan koefisien LHS dan RHS:

$s^2$ : $k_1 + 2/5 = 0 \Rightarrow k_1 = -2/5$
$s$ : $k_2 + k_1 = 2 \Rightarrow k_2 = 2 + 2/5 = 12/5$

sehingga, $f(x)$ dapat dituliskan sebagai

f(x) = \frac{-2s + 12}{s^2 + 4} + \frac{2}{5(s + 1)}

Contoh lain

f(x) = \frac{x + 3}{(x + 5)(x^2 + 4x + 5)} = \frac{r_1}{x + 5} + \frac{k_1x + k_2}{x^2 + 4x + 5}

cari nilai $r_1$ :

r_1 = \frac{x + 3}{x^2 + 4x + 5}\Big|_{x=-5} = \frac{-5 + 3}{(-5)^2 + 4(-5) + 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}

kalikan dengan $(x^2 + 4x + 5)(x + 5)$ :

x + 3 = (k_1x + k_2)(x + 5) + r_1(x^2 + 4x + 5)

ekspansi dan masukkan nilai $r_1 = -1/5$ :

x + 3 = (k_1x + k_2)(x + 5) - \frac{1}{5}(x^2 + 4x + 5)

menyamakan koefisien LHS dan RHS:

$x^2$ : $k_1 = 1/5$
$x$ : $5k_2 - 1 = 3 \Rightarrow k_2 = 4/5$

sehingga, $f(x)$ dapat dituliskan sebagai

f(x) = \frac{-1}{5(x + 5)} + \frac{x+4}{5(x^2 + 4x + 5)}

$\therefore$ ini adalah penggunaan denominator quadratic form.

Tambahan

Cauchy-Goursat Theorem

jika $D$ adalah domain terbatas dimana batas $C$ adalah smooth, maka

Theorem:

jika $f(z)$ analitik dan $f'(z)$ kontinu di $D$ dan $C$ , maka:

\oint_C f(z) \, dz = 0

Green's Theorem

jika $P(x, y)$ dan $Q(x, y)$ memiliki turunan parsial yang kontinu di $D$ dan $C$ adalah kontur yang smooth di $D$ , maka:

Theorem:

\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx \, dy

jika sebuah kontur $C$ melingkupi seluruh kontur $c_1, c_2, \ldots, c_n$ dimana $c_1, c_2, \ldots, c_n$ adalah kontur simpel tertutup berlwanan arah dari $C$ , maka:

\int_C f(z) \, dz = \sum_{k=1}^n \int_{c_k} f(z) \, dz

Upperbound for Contour Integrals

jika $|f(z)| \leq M$ untuk setiap $z$ di $C$ dan panjang $C$ adalah $L$ , maka:

\left| \int_C f(z) \, dz \right| \leq ML

Derivatives of Analytic Functions

jika $D$ adalah domain yang tersambung dan $z_0$ adalah interior poin dari $D$ , maka:

Theorem:

jika $f(z)$ adalah analitik di $D$ , maka $f'(z)$ adalah analitik di $D$ .

f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}} \, d\zeta

L07 Midterm