Lecture 9: The Nullspace of $A$ : Solving $Ax = 0$ and $Rx = 0$

Based on Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang (opens in a new tab)

Nullspace of $A$

Nullspace $N(A)$ dalam $\mathbb{R}^n$ adalah himpunan semua solusi dari $Ax = 0$ termasuk $x=0$ .
Eliminasi dari $A$ ke $U$ ke $R$ tidak mengubah nullspacenya. $N(A) = N(U) = N(R)$ .
Reduced row echelon form $R = \text{rref}(A)$ memiliki pivot bernilai 1 dengan nol di baris atas serta bawahnya:

R = \begin{bmatrix} 1 & * & 0 & * & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & * & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

Jika kolom $j$ dari $R$ tidak berisi pivot, maka ada "special solution" untuk $Ax=0$ dengan $x_j = 1$ dan $x_i = 0$ untuk $i \neq j$ .
Banyak pivot = banyak baris non-nol di $R = \text{rank}(r)$ . Terdapat $n - \text{rank}(r)$ free column di $R$ .
Setiap matriks lebar ( $m < n$ ) memiliki solusi $Ax = 0$ dengan $x \neq 0$ dalam nullspacenya.

Apakah nullspace termasuk subspace?

Misalkan $x$ dan $y$ adalah solusi dari $Ax = 0$ dan $Ay = 0$ . Aturan perkalian memberikan $A(x+y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0$ . Aturan tersebut juga membuktikan $A(cx) = c0$ . Sehingga $x + y$ dan $cx$ berada di nullspace $N(A)$ .

Vektor solusi $x$ memiliki $n$ komponen, sehingga mereka adalah vektor dalam $\mathbb{R}^n$ . Nullspace $N(A)$ adalah subspace dalam $\mathbb{R}^n$ . Berbeda dengan columnspace $C(A)$ yang merupakan subspace dalam $\mathbb{R}^m$ .

Special Solutions for $Ax = 0$

Deskripsikan nullspace dari $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$ !

Dengan eliminasi, kita dapatkan:

R = \begin{bmatrix} 1 & 3 & | & 0\\ 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}

Jika dijabarkan, kita dapatkan:

A\begin{cases} x_1 + 3x_2 = 0 \\ 0 = 0 \end{cases}

Dengan $x_2$ sebagai free variable, kita dapatkan:

A\begin{cases} x_1 = -3x_2 \\ x_2 = x_2 \end{cases}

Sehingga, solusi dari $Ax = 0$ adalah:

\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}

Contoh berikutnya:

$x + 2y + 3z = 0$ datang dari $1 \times 3$ matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ . Kemudian $Ax = 0$ menghasilkan sebuah bidang. Seluruh vektor dalam bidang tersebut tegak lurus terhadap vektor $[1, 2, 3]^T$ . Bidang ini adalah nullspace dari $A$ .

Ada dua free variables $y$ dan $z$ . Sehingga, solusi dari $Ax = 0$ adalah:

\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2y - 3z \\ y \\ z \end{bmatrix} = y \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

Cara lain dalam menentukan solusi nullspace adalah dengan mengatur setiap free variable menjadi 1 dan yang lainnya menjadi 0 secara bergantian:

\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \text{ for } y = 1, z = 0

\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text{ for } y = 0, z = 1

Langkah utama menentukan solusi spesial adalah:

Eliminasi $A$ menjadi $R$ .
Setiap kolom tanpa pivot di $R$ adalah free variable dan tentukan $Ax = 0$ .
Setiap free variable menjadi 1 dan yang lainnya menjadi 0 secara bergantian.

Pivot Variables and Free Variables in $R$

A = \begin{bmatrix} p & p & f & p & f \\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{bmatrix} \begin{cases} 3 \text{ pivot variables } p\\ 2 \text{ free variables } f\\ \text{to be revealed by } R \end{cases}

R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a & 0 & c \\ 0 & 1 & b & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 1 & e \\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \begin{cases} 3 \text{ pivots: rank } r = 3\\ \end{cases}

s_1 = \begin{bmatrix} -a \\ -b \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, s_2 = \begin{bmatrix} -c \\ -d \\ 0 \\ -e \\ 1 \end{bmatrix} \begin{cases} 2 \text{ special solutions } s_1, s_2\\ \text{formed by alternating 1 and 0} \end{cases}

Menghitung jumlah pivot mengantarkan pada teorema penting:

Theorem: Jika $Ax=0$ memiliki lebih banyak unknowns daripada equations, maka $Ax=0$ memiliki solusi non-zero.

Rank of Matrix

Rank dari matriks $A$ adalah jumlah dari pivotnya. Dinotasikan dengan $r$

Contoh:

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 & 4\\ 2 & 1 & 3 & 5 & 6\\ 3 & 1 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}

Dengan eliminasi, kita dapatkan:

R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

Matriks $A$ memiliki 3 pivot, sehingga $\text{rank}(A) = 3$ .

Setiap free column adalah kombinasi dari kolom pivot sebelumnya. Special solution memberitahu proporsi kombinasinya:

\begin{align*} \text{Kolom 4} &= \fbox{0} \text{ (kolom 1)} + \fbox{2} \text{ (kolom 2)} + \fbox{1} \text{ (kolom 3)}, &s_1 = \begin{bmatrix} \fbox{0} \\ \fbox{-2} \\ \fbox{-1} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\\ \text{Kolom 5} &= \fbox{1} \text{ (kolom 1)} + \fbox{1} \text{ (kolom 2)} + \fbox{1} \text{ (kolom 3)}, &s_2 = \begin{bmatrix} \fbox{-1} \\ \fbox{-1} \\ \fbox{-1} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*}

Koefisien dari free column adalah solusi dari $Ax = 0$ dengan membalik tandanya. Perhatikan pula bahwa baris free variablenya tersusun dari 0 dan 1 secara bergantian.

Dimensi dari Nullspace $N(A)$ adalah $n - \text{rank}(A)$ .

Review of the Key Ideas

Nullspace $N(A)$ adalah himpunan semua solusi dari $Ax = 0$ termasuk $x=0$ .
Eliminasi dari $A$ menghasilkan $R$ dengan kolom pivot dan free column.
Setiap free column menghasilkan satu special solution. free variable menjadi 1 dan yang lainnya menjadi 0 secara bergantian.
Solusi komplit dari $Ax = 0$ adalah kombinasi dari special solution.
Rank dari $A$ adalah jumlah dari pivotnya. $\text{rank}(A) = r$ .

Lecture 8: Vector Spaces and Subspaces Lecture 10: The Complete Solution

Lecture 9: The Nullspace of AAA: Solving Ax=0Ax = 0Ax=0 and Rx=0Rx = 0Rx=0

Nullspace of AAA