Diagonalizing a Matrix
-
Kolom dari adalah dimana adalah matriks diagonal eigenvalue.
-
Eigenvector independen sejumlah dalam dapat mendiagonalisasi .
-
Eigenvector matrix juga mendiagonalisasi seluruh pangkat dari .
-
Selesaikan dengan
-
Jika tidak ada eigenvalue yang berulang, maka dapat didiagonalisasi serta diinvers menjadi .
Jika ada eigenvalue yang berulang, maka bisa jadi memiliki sedikit eigenvector independen, sehingga tidak selalu ada.
-
Setiap matriks memiliki eigenvalues yang sama dengan .
Diagonalization
Jika ada sebuah matrix yang memiliki tepat independet eigenvector yang dimasukkan dalam kolom dari matrix , maka dapat didekomposisi menjadi dimana adalah matriks diagonal dari eigenvalues dari .
Didefinisikan pula bahwa adalah matrix eigenvalue :
Contoh
Untuk matriks , kita dapat mencari eigenvalue terlebih dahulu:
Kemudian, kita cari eigenvector dari masing-masing eigenvalue:
- Untuk :
- Untuk :
Sehingga kita dapat menuliskan matriks :
Kemudian, selesaikan :
Jika diperhatikan, untuk kita dapat menuliskan:
Dimana sehingga dalam bentuk umum:
Form of
Why is ?
Ingat bahwa matriks dibentuk dari kolom-kolom eigenvector yang dikalikan dengan skalar eigenvalue :
Dengan memisahkan matriks didapatkan:
Sehingga dapat lebih jauh dituliskan:
Solving
Contoh untuk matriks :
dengan , .
Remarks
-
Seluruh matriks yang memiliki eigenvalue unik dapat didiagonalisasi.
-
Eigenvector dapat dikalikan dengan konstanta nonzero apapun.
-
Urutan eigenvector di sesuai dengan urutan eigenvalue di . Sehingga apabila ingin dibalik, maka juga harus dibalik.
-
Jika memiliki eigenvalue yang berulang, maka mungkin tidak dapat didiagonalisasi. Namun perlu diingat bahwa tidak ada kaitan antara invertibilitas dan diagonalisitas.
- Invertibilitas ditentukan oleh eigenvalues (ada atau tidaknya nol).
- Diagonalisasi ditentukan oleh eigenvectors (ada atau tidaknya eigenvector independen yang cukup).
unik dari setiap
Eigenvector memiliki skalar konstanta berbeda yang unik berupa eigenvalues yang saling independen. Sehingga setiap matrix yang memiliki eigenvector independen pasti bisa didiagonalisasi.
Continue: Matrix Power
Setiap nilai yang dipangkatkan dengan limit tak hingga akan menghasilkan nilai yang konvergen ke nilai nol apabila .
sehingga
adalah matriks nol apabila seluruh eigenvalues dari memiliki nilai .
Study Case: Fibonacci Sequence
Misalkan kita memiliki persamaan rekurensi dengan dan . Dengan menggunakan matriks, kita dapat menuliskan:
Cari eigenvalues dari matriks :
Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita dapatkan .
Kemudian, cari eigenvector dari masing-masing eigenvalues:
- Untuk :
- Untuk :
Didapatkan langkah untuk mencari kombinasi eigenvectors yang menghasilkan :
Kemudian dapat dihitung dengan:
Matrix Powers
Langkah untuk mencari :
- Tulis sebagai kombinasi linear dari eigenvectors dengan .
- Kalikan setiap eigenvector dengan . Nilai sudah diperoleh.
- Tambahkan setiap hasil perkalian untuk mencari . Ini adalah .
Sehingga solusi utama dari adalah:
Faster Fibonacci
Contoh untuk matriks :
memiliki dan , serta dan .
Sehingga dapat dihitung dengan:
Langkah 1: