Lecture 03: Conditional Probability and Discete Random Variables

Conditional Probability

Peluang bersyarat adalah peluang bahwa suatu peristiwa terjadi, diberikan bahwa peristiwa lain telah terjadi (dependent). Yaitu peristiwa yang memenuhi $P(A \cap B) \neq p(A)$ .

Misalnya, kita memiliki dua peristiwa A dan B. Peluang bahwa peristiwa A terjadi, diberikan bahwa peristiwa B telah terjadi, dinyatakan sebagai $P(A|B)$ .

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Dengan catatan $P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = P(B)$ .

Study Case: On Time Arrival

Misalkan kejadian $A$ adalah kondisi dimana pesawat datang tepat waktu. Sedangkan kejadian $B$ adalah kondisi dimana landasan terkena hujan. Jika diketahui bahwa hujan memengaruhi kondusivitas area landasan, maka peluang pesawat datang tepat waktu jika landasan terkena hujan adalah $P(A|B)$ dimana $P(A|B) \neq P(A)$ .

Independent Events

Dua kejadian $A, B$ dikatakan independen jika $P(A|B) = P(A)$ atau $P(B|A) = P(B)$ . Dengan kata lain, kejadian $A$ tidak memengaruhi kejadian $B$ dan sebaliknya.

Study Case: A Dice Roll

Jika didefinisikan dua buah kejadian berikut:

$A$ : hasil lemparan dadu adalah genap
$B$ : hasil lemparan dadu adalah lebih kecil sama dengan 4

Jika kejadian $B$ diketahui telah terjadi, apakah kejadian $A$ dan $B$ dikatakan independent?

Syarat independen adalah

\begin{align*} P(A|B) &= P(A) \\ P(B|A) &= P(B) \end{align*} \quad \begin{align*} P(\bar{A}|B) &= P(\bar{A}) \\ P(\bar{B}|A) &= P(\bar{B}) \end{align*}

Sehingga tinjau ruang sampel dari $A$ dan $B$ :

$A = \{2, 4, 6\}$ dan $B = \{1, 2, 3, 4\}$

Dimana $\bar{A} = \{1, 3, 5\}$ dan $\bar{B} = \{5, 6\}$ .

Dari ruang sampel tersebut, kita dapatkan bahwa

\begin{align*} P(\bar{A}|B) &= \frac{P(\bar{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2} \\ P(\bar{B}|A) &= \frac{P(\bar{B} \cap A)}{P(A)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3} \end{align*}

Diketahui pula bahwa $P(\bar{A}) = 1/2$ dan $P(\bar{B}) = 1/3$ . Sehingga kejadian $A$ dan $B$ dikatakan independent.

Multiplicative Rule (Bayes' Theorem)

Derivasi dari conditional probability, didapatkan formula untuk menghitung peluang dari dua kejadian yang terjadi secara bersamaan yang berasal dari ruang sampel yang sama.

Diketahui sebelumnya bahwa

\begin{align*} P(A|B) &= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ P(A \cap B) &= P(A|B) \cdot P(B) \end{align*}

Dengan demikian, kita dapatkan formula untuk menghitung peluang dari dua kejadian yang terjadi secara bersamaan:

\begin{equation} P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A) \end{equation}

⚠️

Jika kedua kejadian $A$ dan $B$ independen, maka $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

Study Case: Two Bags of Balls

One bag contains 4 white balls and 3 black balls, and the other contains 3 white balls and 5 black balls.
One ball is drawn from the first bag and placed unseen in the second bag.
A ball is then drawn from the second bag. What is the probability that it is white?

Solusi:

38/63

Theorems of Conditional Probability

Theorem 1

Jika dalam suatu eksperimen, kejadian $A_1, A_2, \ldots, A_n$ adalah kejadian yang mungkin terjadi, maka

\begin{align*} P&(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n) =\\ &P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdot \ldots \cdot P(A_n|A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-1}) \end{align*}

Theorem 2

Jika kejadian $A_1, A_2, \ldots, A_n$ adalah kejadian yang saling independent, maka

P(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot \ldots \cdot P(A_n)

Theorem 3

Sekumpulan kejadian $A_1, A_2, \ldots, A_n$ adalah saling independent jika untuk setiap subset dari kejadian $A_{i_1}, A_{i_2}, \ldots, A_{i_k}$ , $k \leq n$ berlaku

P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \ldots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1}) \cdot P(A_{i_2}) \cdot \ldots \cdot P(A_{i_k})

Probabilitas dan Statistika Introduction and Determinants