Elementary Function and Complex Calculus

Nama	Harun
NIM	23/514148/TK/56466
Kelas	B

Elementary Function

Exponential Function

Fungsi eksponen didefinisikan sebagai

f(z) = e^z = e^{x + iy} = e^x(\cos y + i \sin y)

dengan beberapa properti:

$f(z) = e^z$ analitik dimanapun dalam $\mathbb{C}$
$f'(z) = e^z$
$e^{z+w} = e^z e^w, \ \forall z, w \in \mathbb{C}$
$|e^z| = e^x$ dan $\arg(e^z) = y + 2n\pi, \ n \in \mathbb{Z}$
jika $z$ hanya terdiri dari komponen imajiner saja, maka $e^z$ adalah fungsi periodik

berikut adalah mapping (conformal mapping) dari fungsi $f(z) = e^z$ :

garis horizontal menjadi sebuah garis yang menuju keluar dari titik origin
garis vertikal menjadi lingkaran yang berpusat di titik origin

Logarithmic Function

Definisi Logarithmic adalah menyelesaikan persamaan

e^w = z

dengan $z \neq 0$ dan $w = \log z$

jika $z = re^{i\theta}(-\pi < \theta < \pi)$ serta $w = u + iv$ , maka

e^u = r, \quad v = \theta + 2n\pi

sehingga definisi lengkap dari fungsi logaritmik (multiple-valued) adalah

\log z = \log r + i(\theta + 2n\pi), \quad n \in \mathbb{Z}

jika hanya menggunakan principal value dari $\arg(z)$ saja, maka $\log z$ menjadi single-valued.

Principal value dari $\log z$ adalah

\log z = \log r + i \text{ Arg } z

dimana $r = |z|$ dan $\text{Arg } z$ adalah principal value dari $\arg z$ .

catatan: jika $z$ kompleks, maka jangan menyimpulkan bahwa $\log (e^z) = z$ .

melainkan

\log (e^z) = \log |e^z| + i \arg(e^z) = \log e^x + i(y + 2n\pi) = x + i(y + 2n\pi)

berikut adalah conformal mapping dari fungsi $f(z) = \log z$ :

Complex Component

Jika $z\neq 0$ dan $c$ adalah bilangan kompleks, maka fungsi $z^c$ didefinisikan sebagai

z^c = e^{c\log z}

dalam bentuk principal value, didefinisikan pula sebagai

z^c = e^{c(\log |z| + i \text{ arg } z)}

🚫

Sifat aljabar biasa tidak berlaku apabila $z^c$ bersifat multiple-valued!

(j^j)\cdot (j^{-j}) \neq j^0 = 1

catatan: kompleks dipangkatkan kompleks bisa menjadi bilangan real.

Trigonometric Function

dengan Euler's formula, kita bisa mendefinisikan fungsi trigonometri dalam bentuk eksponen

e^{ix} = \cos x + i \sin x

bisa dituliskan sebagai

\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \quad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}

Hyperbolic Function

fungsi hiperbolik sinus, cosinus, didefinisikan sebagai

\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

dengan properti:

$\sinh z$ dan $\cosh z$ adalah fungsi analitik dimanapun dalam $\mathbb{C}$
$\frac{d}{dz} \sinh z = \cosh z$ dan $\frac{d}{dz} \cosh z = \sinh z$

Derivatives of Functions

sebuah persamaan

w(t) = u(t) + iv(t)

dengan $u(t)$ dan $v(t)$ adalah fungsi real dari $t$ , maka turunan dari $w(t)$ adalah

\frac{dw}{dt} = \frac{du}{dt} + i\frac{dv}{dt}

🚫

mean-value theorem tidak berlaku untuk fungsi kompleks!

Definite Integral of Functions

sebuah integral dari fungsi kompleks

w(t) = u(t) + iv(t)

dalam interval $a \leq t \leq b$ adalah

\int_a^b w(t) dt = \int_a^b u(t) dt + i \int_a^b v(t) dt

dengan properti integral:

$\int_a^b w(t) dt = \int_a^c w(t) dt + \int_c^b w(t) dt$
$\int_a^b c w(t) dt = c \int_a^b w(t) dt$
$\int_b^a w(t) dt = -\int_a^b w(t) dt$

Fundamental Theorem of Calculus berlaku untuk fungsi kompleks

anggap

W(t) = U(t) + iV(t) \quad \text{dan} \quad w(t) = u(t) + iv(t)

kontinu pada interval $a \leq t \leq b$ , maka

\int_a^b w(t) dt = U(b) - U(a) + i(V(b) - V(a))

sehingga

\int_a^b w(t) dt = W(b) - W(a)

contoh: hitunglah

\int_0^{\pi/6} e^{i2t} dt

karena

\frac{d}{dt} \left(\frac{e^{i2t}}{2i}\right) = e^{i2t}

maka

\begin{align*} \int_0^{\pi/6} e^{i2t} dt &= \frac{e^{i2\pi/6}}{2i} - \frac{e^{i2\cdot 0}}{2i} \\ &= \frac{e^{i\pi/3}}{2i} - \frac{1}{2i} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4} \end{align*}

Analytic Function L07